Übung: Kurvendiskussion

Erstellt am Februar 19, 2012 von mathetutor

Diskutiere die Funktion f(x)=\frac{1}{27}x^3 - 3x.

Lösung:

Zunächst die Frage, die den meisten bei Kurvendiskussionen unter den Nägeln brennt: Was genau muss ich da eigentlich berechnen?

Im Wesentlichen geht es bei der Diskussion von Funktionen gar nicht so sehr ums Rechnen, sondern mehr darum, sich ein Bild von einer Funktion zu machen, indem man möglichst viele Eigenschaften über sie sammelt. Dazu gehören elementare Eigenschaften wie Definitions- und Wertebereich, Symmetrie und Extremwerte, aber auch die Betrachtung von Globalverhalten und Definitionslücken kann einem hilfreiche Informationen bringen.

Oft ist es hilfreich, wenn man sich ein Koordinatensystem malt, in das man die wesentlichen Eigenschaften, die man bereits ermittelt hat, einträgt. Hat man genügend Eigenschaften gesammelt und kann die Funktion skizzieren ohne eine Wertetabelle zu erstellen dürfte man genug Informationen zusammen getragen haben und die Kurvendiskussion ist beendet.

Aber nun zum eigentlichen Beispiel:

Man sieht leicht, dass Definitions- und Wertebereich die reellen Zahlen \mathbb R sind, da wir für x jede beliebige Zahl einsetzen können und stets eine reelle Zahl als Ergebnis erhalten.

Den Wertebereich können wir auch aus dem Globalverhalten entnehmen, es gilt nämlich \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=-\infty und \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=+\infty. Der Graph beginnt also im Koordinatensystem irgendwo unten links und bewegt sich irgendwo nach oben rechts. Dies liefert uns gleich eine weitere Eigenschaft der Funktion, nämlich die Existenz einer Nullstelle. Wenn f im minus Unendlichen beginnt und ins plus Unendliche läuft, dann muss dazwischen irgendwo der Wert Null angenommen werden.

Bestimmen wir also die Nullstellen. Das kann man entweder durch Raten einer Nullstelle und anschließende Polynomdivision oder durch geschicktes Ausklammern: \frac{1}{27}x^3-3x=0\Leftrightarrow x\cdot\left(\frac{1}{27}x^2-3\right)=0. Nun erinnern wir uns: Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist, das heißt es gilt x=0 oder \frac{1}{27}x^2-3=0\Leftrightarrow x^2=81\Leftrightarrow x=-9\vee x=9. Man beachte, dass hier die positive und negative Wurzel gezogen werden muss, wir also zwei Lösungen erhalten.

Die Funktion hat also Nullstellen bei x=0,x=-9 und x=9.

Wie steht es um  die Symmetrie? Es gilt:

  • f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt f(-x)=-f(x).
  • f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt f(-x)=f(x).

Wir betrachten also  f(-x)=\frac{1}{27}\cdot(-x)^3-3(-x)=-\frac{1}{27}x^3+3x=-\left(\frac{1}{27}x^3-3x\right)=-f(x). Nach unserem Kriterium erhalten wir, dass $latex  f$ punktsymmetrisch zum Ursprung sein muss.

Wir können nun also grob sagen, dass der Graph der Funktion unten links beginnt, bei -9, 0 und 9 die x-Achse schneidet, dabei symmetrisch zum Ursprung verläuft und dann nach oben rechts verschwindet.

Das einzige was uns jetzt noch interessiert ist, wie verhält sich der Graph zwischen den Nullstellen?

Dazu bestimmen wir die Extremwerte. Die benötigten Ableitungen lauten f'(x)=\frac{1}{9}x^2-3 und f''(x)=\frac{2}{9}x.

Zur Erinnerung:

  • Notwendiges Kriterium für die Existenz einer Extremstelle: f'(x)=0
  • Hinreichendes Kriterium für die Existenz einer Extremstelle: f'(x)=0 und f''(x)\neq 0.

Aus dem Vorzeichen von f'' können wir dabei näheres über die Art des Extremwerts erfahren, gilt f''(x)>0, so liegt ein Minimum, gilt f''(x)<0, so liegt ein Maximum vor.

Bestimmen wir also die Nullstellen der ersten Ableitung: f'(x)=0\Leftrightarrow \frac{1}{9}x^2-3=0\Leftrightarrow x^2=27\Leftrightarrow x=-\sqrt{27}\vee x=\sqrt{27}.

Beachte: \sqrt{27}=\sqrt{3*3^2}=3\sqrt 3 (zur Vereinfachung der Notation).

Wir erhalten also x=-3\sqrt 3 und $x=3\sqrt 3$ als potentielle Extremstellen. Wir prüfen noch mit der zweiten Ableitung auf die Art des Extremwerts:

f''(3\sqrt 3)=\frac{2}{9}\cdot 3\sqrt 3 >0\Rightarrow Minimum

f''(-3\sqrt 3)=-\frac{2}{9}\cdot 3\sqrt 3<0\Rightarrow Maximum

Zuletzt bestimmen wir die Funktionswerte der Extrema durch einfaches Einsetzen:

f(3\sqrt 3)=\frac{1}{27}(3\sqrt 3)^3-3\cdot 3\sqrt 3=-6\sqrt 3

f(-3\sqrt 3)=6\sqrt 3

Den zweiten Funktionswert kann man natürlich wie den ersten durch Einsetzen bestimmen, man kann aber auch direkt aus der Punktsymmetrie folgern, dass dieser 6\sqrt 3 sein muss. Analoges funktioniert auch bei der Ableitung.

Der Vollständigkeit halber bestimmen wir noch den Wendepunkt der Funktion: Dazu bestimmen wir die Nullstellen der zweiten Ableitung.

  • Notwendiges Kriterium für eine Wendestelle: f''(x)=0
  • Hinreichendes Kriterium für eine Wendestelle: f''(x)=0 und f'''(x)\neq 0

Auch hier kann man über das Vorzeichen der dritten Ableitung eine Aussage über die Art des Wendepunktes erhalten (d.h. ob der Graph hier von einer Links- in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt), aber das soll uns hier nicht weiter interessieren.

Wir wissen bereits, dass f''(x)=\frac{2}{9}x ist, also gilt f'''(x)=\frac{2}{9}. Dann folgt:

f''(x)=0\Leftrightarrow \frac{2}{9}x=0\Leftrightarrow x=0 und damit f'''(0)=\frac{2}{9}\neq 0 hat die Funktion bei Null einen Wendepunkt.

Wir können uns nun den Funktionsgraphen skizzieren um unsere Diskussion abzuschließen:

Dieser Beitrag wurde unter Übungen Analysis, Uncategorized veröffentlicht. Setze ein Lesezeichen auf den Permalink.

Hinterlasse einen Kommentar